a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a+2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-2$, determinați inversa matricei $\displaystyle A(-2)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, rezolvați sistemul de ecuații.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \circ$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x \circ x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,\infty) \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{x^2+1}{x} - \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x) + \frac{1}{x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, astfel încât $\displaystyle \int_{1}^{a} f(x)dx = \frac{1}{2} - \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = 6^x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot A(x)$.

c) Demonstrați că, orice matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot A(x) = A(x) \cdot X$ pentru două elemente numere iraționale, este de forma $\displaystyle \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, pentru $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * 0 \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ cu $\displaystyle a \ne b$. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * a = x * b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ cu proprietatea că $\displaystyle x * (x+1) = -x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x+1}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+e^x) dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x) dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n (f(x)+e^x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n + nI_{n-1} = e$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.