a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 8 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2020^x * 2020^x = 2$.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m*n=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, tangentele la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctele $\displaystyle A(a,f(a))$ și $\displaystyle B(-a,f(-a))$ sunt paralele.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - f(-x))$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-\ln(2x+1)) dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle F(x) \le F\left(\frac{16}{5}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=1$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b)=A(ab)$, pentru orice $\displaystyle a,b \in (0,+\infty)$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot A(a) \cdot A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 2020 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-3$. Arătați că $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1 \circ x_2 \circ \dots \circ x_n = \frac{1}{3^{n-1}}(x_1+3)(x_2+3)\dots(x_n+3)-3$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle n \ge 2$ și orice numere reale $\displaystyle x_1, x_2, \dots, x_n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 \left(f(x)-\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right)dx = \frac{64}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^4 (f(x)-f(-x))dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>4$, astfel încât $\displaystyle \int_4^a \frac{f(x)}{x}dx=10+\ln\frac{a+\sqrt{a^2+9}}{9}$.