a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care tripletul $\displaystyle (-1,0,1)$ este soluție a sistemului de ecuații.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numerele $\displaystyle m \in \mathbb{Z} \setminus \{-7,2\}$, pentru care sistemul de ecuații admite soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, cu $\displaystyle x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \in \mathbb{Z}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ x = 8$.

c) Calculați partea întreagă a numărului $\displaystyle a=\left(1-\frac{1}{11}\right) \circ \left(1-\frac{2}{11}\right) \circ \left(1-\frac{3}{11}\right) \circ \dots \circ \left(1-\frac{10}{11}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=x(\frac{2}{3}\sqrt{x}-1)$, pentru $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,-\frac{1}{3})$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x(2\sqrt{x}-3) \ge -1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(x^3+1)f_1(x)$, știind că $\displaystyle G(0)=2020$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f_1(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f_n(x)dx \le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A - A = aI_2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m\neq n$, pentru care $\displaystyle \det(A+mI_2)=\det(A+nI_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ \frac{1}{2} = x$, pentru orice $\displaystyle x\in M$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to(0,1)$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x+1}$. Arătați că $\displaystyle f(x)\circ f(y)=f(xy)$, pentru orice $\displaystyle x,y\in(0,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{(e^x+x)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,f(1))$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle g'(x)+g(x)=\frac{1}{e^x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f''(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x) dx = 3$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \left( f(x)+\frac{2x-1}{x^2+1} \right) \ln x dx = e^2+a$.