a) Arătați că $\displaystyle \det(A(e)) = e$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a^2)) = (\det(A(a)))^2$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numerele $\displaystyle a, b \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle A(a)+A(b)=2A(a) \cdot A(b)$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \circ 1 = \sqrt{2}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2}) + \sqrt{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{2} \circ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} \circ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \circ \dots \circ \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)(x+3)f(x)dx = 5$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ pentru care $\displaystyle x_0 = y_0 = z_0$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \ast (-2020) = 2$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \ast$.

c) Știind că $\displaystyle (\mathbb{R}, \ast)$ este grup, demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+8$ este morfism de la grupul $\displaystyle (\mathbb{R}, \ast)$ la grupul $\displaystyle (\mathbb{R}, +)$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} (x f(x)) = 2$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-2,+\infty)$.

c) Determinați $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = 2-3e^{-2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x+1)^2 e^x dx$.

c) Se consideră numerele reale pozitive $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{e^{-x}f(x)}{x+1} dx$, $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{f(x)}{x+1} dx$ și $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{e^x f(x)}{x+1} dx$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci $\displaystyle a,b,c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.