a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (x,y)$ de numere reale, știind că $\displaystyle \det(M(x,y))=4$ și suma elementelor matricei $\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y)$ este egală cu $\displaystyle 8$.

a) Arătați că $\displaystyle 2\ast(1\circ 3)=(2\ast 1)\circ(2\ast 3)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^{x\ast x} = (\frac{1}{9})^{x\circ x}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle (x-1)\ast(y+1)=2$ și $\displaystyle (x+y)\ast 4=10$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,\infty)$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^4 g(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^m f(x)\cdot g(x)dx=20$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Demonstrați că suma elementelor matricei $\displaystyle B(a)=A(a) \cdot A(a)$ nu depinde de numărul real $\displaystyle a$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, arătați că sistemul de ecuații este incompatibil.

a) Arătați că $\displaystyle 0*1*(-1)=-1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle m$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x * 5^{-x+1}=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ astfel încât funcția $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$, calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Pentru $\displaystyle m=0$, calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x)dx$.