a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y) = M(y)M(x)$ dacă și numai dacă $\displaystyle x = y$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m^2+1)M(n^2+1) = M((n^2+1)(m^2+1))$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7\left(x + \frac{1}{7}\right)\left(y + \frac{1}{7}\right) - \frac{1}{7}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 5$.

c) Dați exemplu de numere distincte $\displaystyle a,b \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ pentru care numărul $\displaystyle a \circ b$ este natural.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = -x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f'(x) dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x^2} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle p, p > 1$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{p} xf(x) dx = \frac{p^2}{2} \ln p - \frac{1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluția sistemului de ecuații.

c) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $\displaystyle p$, matricea $\displaystyle A(p)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $\displaystyle p$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-101)(y-101)+101$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale care sunt egale cu simetricul lor în raport cu legea „$\displaystyle *$”.

c) Determinați numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x<y$ și $\displaystyle 101$ este număr prim, obținem $\displaystyle x*y=202$.

a) Determinați panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge (1-x)x+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 xf(x)dx=4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_2^6 \frac{2}{f(x)} dx$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_1^e f(x) \cdot \frac{\ln x}{x^2+4} dx = \frac{a}{4}$.