a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m)M(n)=M(6)$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ x\le 5$.

c) Calculați $\displaystyle 1^0\circ 2^0\circ 3^0\circ \dots \circ 2020^0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x-x^e=0$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx=18$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{3\ln 2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = A(x+y+3xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a)A(a)=A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = -(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x=x$.

c) Calculați $\displaystyle 1*(-2)*3*(-4)*...*2019*(-2020)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -(x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le \frac{f(x)}{(x+2) \sqrt[4]{e^x}} \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{e^x} f(x) dx = \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.