Arătați că $\displaystyle x*(-3) = x-3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Verificați dacă $\displaystyle e = -2$ este elementul neutru al legii de compoziție ,,*''.

Calculați $\displaystyle (-3)*(-2)*(-1)*0*1*2*3$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*1 = 1$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculați $\displaystyle A · A - 6A = -I_2$.

Determinați matricea reală $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle \det(XA) = \det(X)$.

Determinați matricea reală $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle det(A - aI_2) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați matricele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle det(A + I_2) + det(A - I_2) = det(mA) = m^2$.

Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere întregi, știind că $\displaystyle det(mA) - det(nA) = 8$.

Arătați că $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+1\right) \frac{1}{\sqrt{2}-1} \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x$. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(x+1) - f(x) \leq 7$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^3-8) = \log_2(x^3) - 3$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 12, deci sunt 8 cazuri favorabile.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-5,5)$, $\displaystyle B(5,5)$ și $\displaystyle C$. Arătați că, dacă $\displaystyle AC = BC$, atunci $\displaystyle C$ este situat pe axa $\displaystyle Oy$.

Calculați lungimea catetei $\displaystyle AB$ a unui triunghi $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle BC=8$ și $\displaystyle m(\angle B)=30^{\circ}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-2020$. Arătați că $\displaystyle 20 * 1 = 2021$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 20 * (x+z) = x+y+z-40$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

Verificați dacă $\displaystyle e=20$ este elementul neutru al legii de compoziție ,,*,,

Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x * (2x-1) = 21 \rArr 3x = 42$.