1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 6^x \cdot 6^y$. Arătați că $\displaystyle (-2020) \ast 2020 = 1$.

2. Demonstrați că legea de compoziție $\displaystyle \ast$ este comutativă.

3. Verificați dacă $\displaystyle x \ast (-x)=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 36$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-6) \ast (6-x) = 6^x$.

6. Dați exemplu de numere iraționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care numărul $\displaystyle p \ast q$ este rațional.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = aA + I_2$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 4A + 5I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

3. Calculați $\displaystyle M(1) \cdot M(-1)$.

4. Arătați că $\displaystyle M(a) \cdot M(1) + M(a) \cdot M(-1) = 2M(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a) \cdot M(a) = M(0)$.

6. Demonstrați că $\displaystyle \det(M(a)) > 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că $\displaystyle (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$.

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + 2x + 1$ și $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = 1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{2x-3} = 3^{-3}$.

Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu elementele mulțimii $\displaystyle A = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(8,3)$ și $\displaystyle C(0,3)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

Calculați $\displaystyle 2 \frac{\sin 30^\circ}{\cos 45^\circ} - \cos^2 45^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = x+y+3x+3y+6$.

Demonstrați că $\displaystyle x*y = (x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.