Se consideră matricea $\displaystyle A(n) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^n \\ 0 & 2^n-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 1$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ știind că $\displaystyle A(n) \cdot A(1) = A(3)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ știind că $\displaystyle A(p) \cdot A(q) = A(pq)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + X^2 - 3X + 2$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle X^2-4$.

c) Arătați că $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = 20$ știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile lui $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+e^x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4x+1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x+1)dx = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^3}\int_0^t f(x)dx = \frac{1}{4}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a+1 & 1 \\ 1-a & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ ştiind că $\displaystyle \det(A(a))=1$.

c) Determinaţi inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x \circ y = 2xy - 3x - 3y + 6$.

a) Calculaţi $\displaystyle 1 \circ 2$.

b) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x \circ x = 2$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(- \infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x-2}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)e^x}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (- \infty, 2)$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \le -\frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (x+1)f(x)dx=2\ln 2-1$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+x f'(x))dx=1$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\ln x}{f(x)}$.