În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,3)$, $\displaystyle B(8,0)$ și $\displaystyle C(4,-3)$. Arătați că patrulaterul $\displaystyle AOCB$ este romb.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} - \cos 30^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = x+y+xy$.

Arătați că legea de compoziție , * " este asociativă.

Verificați dacă $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție ", * ".

Arătați că $\displaystyle x*x = (x+1)^2 - 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$, și $\displaystyle y$, și $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle (x*y)*z = x*(y*z)$.

Demonstrați că $\displaystyle x*(x+1) \ge x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ a-1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

Arătați că $\displaystyle (2a+1)A(a) - A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} a^2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Demonstrați că $\displaystyle A(5a-1)A - A(5a+1)A = 2A(5a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care care deținet (\det(A(a))<0).

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle n(n+1)$ este par, de asemenea numerele naturale nenule $\displaystyle n$ și $\displaystyle n+1$ sunt consecutive, deci determinant (\det(A(n))) este par.

1. Arătați că $\displaystyle \frac{22+(\sqrt{2})^2}{4} - \frac{22-(\sqrt{2})^2}{5} = 2$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+3$. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(3x+1) \le f(x)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x-2}=x-2$.

4. După o ieftinire cu 20% prețul unui obiect este 28 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(3,4)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=2x-1$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

6. Calculați aria triunghiului isoscel $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle A)=90^\circ$ și $\displaystyle BC=8$.