Arătați că $\displaystyle (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}-3)^2 = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-5$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x)\leq 2$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2 (x^2+1)= \log_2 9$.

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\displaystyle A = \{1,2,3,4,5\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,4)$ și $\displaystyle B(-6,4)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle OM$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle AB = 7$ și $\displaystyle m(\sphericalangle B) = 60^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 1. Arătați că $\displaystyle 4 \ast 2020 = 4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 2. Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 3. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \leq 5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 4. Arătați că $\displaystyle x \ast 4 = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 5. Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy - 4(x+y)+20$. \newline 6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = x$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 1. Arătați că $\displaystyle \det (M(2)) = -5$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 2. Demonstrați că $\displaystyle M(x)+M(x+2) = 2M(x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (M(x)) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 4. Arătați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) = M(y) \cdot M(x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(-x) = M(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma numerelor întregi $\displaystyle x$ care verifică inegalitatea $\displaystyle \det (nM(x)-xM(n)) \leq n^2$ este egală cu $\displaystyle 36$.

Arătați că $\displaystyle \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right)^{4} = \frac{31}{16}$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=mx+1$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(2)+f(1)=-1$.