5. Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)-A(0)) \ge 0$, pentru orice număr real pozitiv $\displaystyle a$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere reale pozitive, știind că $\displaystyle A(\sqrt{a}) \cdot A(\sqrt{b}) = A(2) + \frac{1}{2} A(a)$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{75} - \sqrt{108} = 0$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=3-2x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{8-3x} = 25$.

Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele $\displaystyle 1, 2, 3, 4$ și $\displaystyle 5$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(5,4)$ și $\displaystyle C(5,8)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

Calculați $\displaystyle E = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} - \sin^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - (x+y) + 1$. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2020 = 0$.

Arătați că legea de compoziție $\displaystyle \circ$ este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1) \circ x = 0$.

Arătați că $\displaystyle x^2 \circ x^2 = (x^2-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere naturale, știind că $\displaystyle a \circ b = 3$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = xI_2 + A$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(M(x)) = 16$.

Arătați că $\displaystyle M(-1) + M(0) + M(1) = 3A$.

Demonstrați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) = xyI_2 + (x+y)A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(M(x) - xA) \le 3x-2$.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+...+M(n) = 9M(5)$.