Arătați că $\displaystyle \det(A(a) - B \cdot B - A(a)) = -9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că $\displaystyle A(a-1) + A(a+1) = 2A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a)+B) = a$.

Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1) + A(2) + \dots + A(n) = 11A(6)$.

1. Arătați că $\displaystyle 4(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})=1$.

2. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle f(x) \ge g(x)$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x+1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+4$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 14^{x^2+3x}=11^{x^2+3x}$.

4. O firmă folosește $\displaystyle 5000$ de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă $\displaystyle 5\%$ din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(7,4)$ și $\displaystyle C(1,4)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$.

6. Arătați că $\displaystyle \sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ - \cos 0^\circ = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x+y+50$. 1. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = 50$.

2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este asociativă.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = -50$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 92$.

5. Demonstrați că $\displaystyle (x-y-50) \circ (x-y-50) = (x-y)(x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle ((m^2-n-50) \circ (m-n))-(m-n)=57$.

Se consideră matricele $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a^2 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real pozitiv. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

2. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

3. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) - 2A(1) = O_2$.

4. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(\sqrt{2}) \cdot A(a) = 3A(1)$.