Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -6$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$, unde matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}$.

3. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 4A = 6I_2$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \det(A - xI_2) = -1$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A - A = aA + 24I_2$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{16} + \sqrt{49} - \sqrt{121} = 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle 5(x+2) \le 15$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(2x-8) = \frac{1}{\log_2 3}$.

Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(6,8)$ și $\displaystyle C(6,4)$. Arătați că patrulaterul $\displaystyle ABCO$ este paralelogram.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle A) = 60^{\circ}$, $\displaystyle AB = 8$ și $\displaystyle AC = 8$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x + y - 15$. Arătați că $\displaystyle (-2) * 17 = 0$.

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Arătați că $\displaystyle (1 * 2) * (8 * 9) = (1 * 9) * (2 * 8)$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = x$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 9^x * 3^x = -3$.

Demonstrați că $\displaystyle x^2 * \frac{1}{x^2} \ge -13$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(aA(a)) = 0$.