5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 4^x*2^{x+1} = 5$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle (x-1)*(y+2)=3$ și $\displaystyle (2x)*(y-2)=2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0,0))=0$.

2. Calculați $\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,1)$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(A(x,y)) + \det(A(y,x)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y) = 2A(x,y)$.

5. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1,1)+A(2,2)+...+A(n,n) = nA(4,4)$.

6. Determinați numărul perechilor de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(m,n)$ este egală cu 102.

Arătați că $\displaystyle (2 - \frac{1}{3})^2 : \frac{17}{9} = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle f(2)-f(-2) = 16$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2-3} = 3^{3x}$.

Prețul unui obiect este 120 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 5%.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,7)$ și $\displaystyle B(3,-7)$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la punctul $\displaystyle C$, unde $\displaystyle C$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\sphericalangle B) = 45^{\circ}$, $\displaystyle AB=5$ și $\displaystyle AC=5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-2020$.

1. Arătați că $\displaystyle 2000 * 20 = 0$.

2. Arătați că legea de compoziție „*” este asociativă.

3. Demonstrați că $\displaystyle a * (a+2020) = (a+1010) * (a+1010)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle 4^x * 2^x = -2014$.

5. Determinați cel mai mare număr natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n \le n$.

6. Arătați că numărul $\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}} + \frac{2}{3+\sqrt{5}}$ este întreg.