Verificați dacă $\displaystyle e=2$ este element neutru al legii de compoziție „*”.

Verificați dacă $\displaystyle \frac{4}{3}$ este simetricul lui $\displaystyle 4$ în raport cu legea de compoziție „*”.

Determinați mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \leq x$.

Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle M(m+n+mn)=2 M(m) < M(n)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle det(M(0)) = 1$.

Calculați $\displaystyle M(1)-M(3)-M(5)$

Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

Determinați mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle det(M(x^2)) < 5$.

Demonstrați că $\displaystyle M(x) M(y) = M(xy+x+y)$.

Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle M(m+n+mn)=2 M(m) < M(n)$.

1. Calculați suma primilor patru termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, știind că $\displaystyle a_1 = 3$ și $\displaystyle a_4 = 9$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x+4$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(-1)+f(0)+f(1)=f(a)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x-3)+\log_3(x+3)=3$.

4. Prețul unui obiect este 1200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,0)$, $\displaystyle B(0,4)$, $\displaystyle C(-3,0)$ și $\displaystyle D(0,-4)$. Calculați perimetrul patrulaterului $\displaystyle ABCD$.

6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle B)=45^\circ$, $\displaystyle m(\angle C)=45^\circ$ și $\displaystyle BC=5\sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y-3$. 1. Calculați $\displaystyle 1*(-1)$.

2. Verificați dacă legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este comutativă.

3. Arătați că legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este asociativă.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1)*(x+1) \le 1$.