5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(7,0)$, $\displaystyle B(4,4)$ și $\displaystyle C(2,0)$. Calculați distanța de la punctul $\displaystyle C$ la dreapta $\displaystyle AB$.

6. Calculați $\displaystyle 4 \sin 60^\circ \cdot \cos 60^\circ - \frac{4}{\sqrt{3}}\sin 60^\circ \cdot \cos 60^\circ + 1$.

1. Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 3 = 3$.

2. Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e = \frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați mulțimea numerelor întregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (a-3) \circ (a-3) < 3$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x \circ 7$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m \circ n = 5$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați $\displaystyle \det A$.

2. Arătați că $\displaystyle A^2-2A+I_2 = O_2$, unde $\displaystyle A^2=A \cdot A$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det((m-1)A) = m+1$.

4. Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$.

5. Demonstrați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, atunci $\displaystyle X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle xA+yB = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle 2-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{12}{12}\right)=\frac{12}{12}$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a, a)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-x+1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2-25}=\sqrt{25}$.

La dublul unui număr adăugăm 10, iar rezultatul îl înmulțim cu 7. Din noul rezultat scădem 56 și obținem 28. Determinați numărul inițial.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, considerăm punctele $\displaystyle A(1,-2)$, $\displaystyle B(-3,6)$ și $\displaystyle C(1,0)$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle C$ și prin mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Arătați că $\displaystyle 16 \sin^2 60^\circ \cos^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ - \sqrt{3} \cos 60^\circ = 3$.