3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{4x-2} = 49$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie pătratul unui număr natural.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$, $\displaystyle B(6,4)$ și $\displaystyle C(6,7)$. Demonstrați că $\displaystyle \Delta ABC$ este isoscel.

6. Calculați $\displaystyle \left(\cos 30^\circ - \sin 30^\circ\right)^2 + \cos 30^\circ = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy - 3(x+y) + 12$.

1. Arătați că $\displaystyle 2020 \circ 4 = 2020$.

2. Demonstrați că $\displaystyle 3 \circ x = 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

5. Arătați că $\displaystyle x \circ y \ge 3$, pentru orice $\displaystyle x \ge 3$ și $\displaystyle y \ge 3$.

6. Calculați $\displaystyle \sqrt{1} \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \dots \circ \sqrt{2020}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 2x & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -18$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot B(0) - B(0) \cdot A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(B(x)) = (2-x)(x+4)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Arătați că $\displaystyle \det(A+B(2)) < \det A + \det(B(2))$.

5. Demonstrați că $\displaystyle B(x) \cdot B(y) = B(y) \cdot B(x)$ dacă și numai dacă $\displaystyle x=y$.

6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(1) + B(2) + B(3) + \dots + B(n) = \begin{pmatrix} 200 & 5050 \\ 5250 & 400 \end{pmatrix}$.

1. Determinați a 2020-a zecimală a numărului $\displaystyle \frac{5}{6}$.

2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+3x-3$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x^2-1$. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(x)=g(x)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x-5}=\sqrt{x+1}$.

4. Două elevi unei clase se așază câte trei în bancă, rămân patru bănci libere, iar dacă se așază câte doi în bancă, un elev rămâne singur în bancă și nu rămân bănci libere. Determinați numărul de bănci din această sală de clasă.