Arătați că $\displaystyle 2 \cdot (18 - 2 \cdot 9) + (2 \cdot 9 - 8) : 2 = 5$.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = 2x-1$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(10-2x) = 1$.

Determinați câte numere naturale pare de două cifre au ambele cifre nenule.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(5,2)$ și $\displaystyle C(5,6)$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

Arătați că $\displaystyle \left(\sin 60^{\circ} - \cos 60^{\circ}\right)\left(\sin 60^{\circ} + \cos 60^{\circ}\right) = \frac{1}{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy + 3x + 3y + 6$. Arătați că $\displaystyle 3 \circ (-1) = 9$.

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle a \circ x = a$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că, dacă $\displaystyle x, y \in (-3,+\infty)$, atunci $\displaystyle x \circ y \in (-3,+\infty)$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+3) \circ (x-3) \le 37$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5^{a} \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det\left(A(3)\right) = 125$.

Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(4) - A(2) \cdot A(3) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det\left(A(n)\right) \le \sqrt[3]{125}$.

1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{180} - (\sqrt{125} + \sqrt{5}) = 0$.

2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 4x-3$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x^2$.