5. Demonstrați că $\displaystyle \det (I_2 + aA) + \det (I_2 - aA) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

6. Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle (I_2 - A) \cdot X = A$.

1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{64} - \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \cdot 0,5 - 1 = 8$.

2. Determinați cel mai mare element al mulțimii $\displaystyle A = \{x \in \mathbb{Z} | x^2 - 2x - 3 < 0\}$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^2+x+1) = \log_2(3x)$.

4. Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de $\displaystyle 17$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle M(0,1)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB = 24$, $\displaystyle AC = 10$, $\displaystyle BC = 26$ și punctul $\displaystyle D$, mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Arătați că lungimea segmentului $\displaystyle AD$ este egală cu $\displaystyle 13$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 5(x+y) + 30$. Arătați că $\displaystyle 0 * 5 = 5$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle (x-1) * (x+1) = 8$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x * 5^x = 5$.

6. Dați exemplu de numere raționale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $\displaystyle p*q$ este întreg.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle C(x) \cdot B(x) = A$.

3. Arătați că $\displaystyle C(x) \cdot B(x) - B(x) \cdot C(x) = \begin{pmatrix} 0 & x^2 \\ -2x & 0 \end{pmatrix}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Pentru $\displaystyle x=0$, determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot B(x) = A \cdot C(x)$.

5. Demonstrați că, pentru orice număr întreg $\displaystyle x$, matricea $\displaystyle C(x)$ este inversabilă.

6. Determinați numerele naturale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x) + C(x)) > 0$.