3Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #2 · Pedagogicdeterminanțiecuațiimatrici Determinați numărul real x\displaystyle xx pentru care det(B−C)=0\displaystyle \det(B-C)=0det(B−C)=0. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #2 · Pedagogicdeterminanțimatrici Demonstrați că det(B⋅C−C⋅B)=3x(x−1)2\displaystyle \det(B \cdot C - C \cdot B) = 3x(x-1)^2det(B⋅C−C⋅B)=3x(x−1)2, pentru orice număr real x\displaystyle xx.
5Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #2 · Pedagogicmatrici Pentru x=1\displaystyle x=1x=1, arătați că inversa matricei B\displaystyle BB este matricea (01/31−2/3)\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 1 & -2/3 \end{pmatrix}(011/3−2/3).
6Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #2 · Pedagogicecuații matricialematrici Pentru x=1\displaystyle x=1x=1, rezolvați în M2(R)\displaystyle M_2(\mathbb{R})M2(R) ecuația B⋅X⋅C=A\displaystyle B \cdot X \cdot C = AB⋅X⋅C=A.
1Subiectul I5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicnumere reale Arătați că 53−32+18+2+4−75=2\displaystyle 5\sqrt{3} - \sqrt{32} + \sqrt{18} + \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{75} = 253−32+18+2+4−75=2.
2Subiectul I5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicecuațiifuncții Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}f:R→R, f(x)=2x+m\displaystyle f(x) = 2x+mf(x)=2x+m, unde m\displaystyle mm este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle mm, știind că punctul A(1,1)\displaystyle A(1,1)A(1,1) aparține graficului funcției f\displaystyle ff.
3Subiectul I5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicecuațiinumere reale Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−9=4\displaystyle \sqrt{x^2-9}=4x2−9=4.
4Subiectul I5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicecuații După o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%20%, urmată de o ieftinire cu 180\displaystyle 180180 de lei, prețul unui obiect este 300\displaystyle 300300 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul I5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicgeometrie analitică În reperul cartezian xOy\displaystyle xOyxOy se consideră punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0)A(3,0), B(0,4)\displaystyle B(0,4)B(0,4) și C(3,4)\displaystyle C(3,4)C(3,4). Determinați lungimea medianei din vârful C\displaystyle CC al triunghiului ABC\displaystyle ABCABC.
6Subiectul I5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogictrigonometrie Arătați că sin60∘−cos60∘=3−12\displaystyle \sin 60^{\circ} - \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}sin60∘−cos60∘=23−1.
1Subiectul al II-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogiclegi de compoziție Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x \circ y = 2xy - 2(x+y)x∘y=2xy−2(x+y). Arătați că (−1)∘1=−2\displaystyle (-1) \circ 1 = -2(−1)∘1=−2.
2Subiectul al II-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogiclegi de compoziție Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ∘” este comutativă. ▶Arată rezolvarea
3Subiectul al II-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogiclegi de compoziție Demonstrați că x∘y=2(x−1)(y−1)−2\displaystyle x \circ y = 2(x-1)(y-1)-2x∘y=2(x−1)(y−1)−2, pentru orice numere reale x\displaystyle xx și y\displaystyle yy.
4Subiectul al II-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați numărul real x\displaystyle xx pentru care 2x∘2x=0\displaystyle 2^x \circ 2^x = 02x∘2x=0.
5Subiectul al II-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicinecuațiilegi de compoziție Demonstrați că (x+1)∘(2x−1)>−4\displaystyle (x+1) \circ (2x-1) > -4(x+1)∘(2x−1)>−4, pentru orice număr real x\displaystyle xx.
6Subiectul al II-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați perechile de numere naturale (m,n)\displaystyle (m,n)(m,n), știind că m∘n=12\displaystyle m \circ n = 12m∘n=12. ▶Arată rezolvarea
1Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicdeterminanțimatrici Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}A=(2−1−21), B=(6−4−33)\displaystyle B = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}B=(6−3−43) și I2=(1001)\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}I2=(1001). Arătați că detA=0\displaystyle \det A = 0detA=0.
2Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicmatrici Arătați că A⋅A−B=(0−200)\displaystyle A \cdot A - B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}A⋅A−B=(00−20).
3Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicdeterminanțimatrici Demonstrați că det(A⋅B−I2)=det(B⋅A−I2)\displaystyle \det (A \cdot B - I_2) = \det (B \cdot A - I_2)det(A⋅B−I2)=det(B⋅A−I2).
4Subiectul al III-lea5p·2020 · Antrenament #3 · Pedagogicecuațiimatrici Determinați numărul real x\displaystyle xx, știind că B−A+xI2=(2−2−20)\displaystyle B - A + xI_2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}B−A+xI2=(2−2−20).