Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det\left(A(a)\right) = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că $\displaystyle A(0) \cdot A(2020) = 2A(2020)$.

Demonstrați că $\displaystyle A(-a) \cdot A(a) = 4I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 2A(2)$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A\left(a^{2}\right)-2A(a)+A(-3) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Demonstrați că există o infinitate de perechi de numere reale $\displaystyle (x,y)$ pentru care $\displaystyle A(-3) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2y \\ 2x+y \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{6}{\sqrt{27}+\sqrt{8}} = 1$.

2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+2$. Determinaţi numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n) \le g(n)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_{2}(x^2+5)=\log_{2}(4x)$.

4. Un biciclist parcurge un traseu în trei etape. În prima etapă biciclistul parcurge $\displaystyle 50\%$ din traseu, în a doua etapă $\displaystyle 25\%$ din traseu, iar în a treia etapă restul de $\displaystyle 10km$. Determinați lungimea traseului.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,0)$, $\displaystyle B(4,4)$ și $\displaystyle C(3,0)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

6. Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ + \sin 30^\circ - 2 \sin^2 45^\circ = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{2}$. 1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{2}$. 2. Demonstrați că $\displaystyle x*y=(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Verificați dacă $\displaystyle e=1+\sqrt{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle a*a=2+\sqrt{2}$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 4^x * 2^x = \sqrt{2}$.

6. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+\sqrt{2}) * (x-\sqrt{2}) \le \sqrt{2}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B+C=A$.