Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^2-x+2) = 1 + \log_2 x - \frac{1}{2}$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie mai mare decât 51.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,6)$, $\displaystyle B(-3,-1)$ și $\displaystyle C(-2,-2)$. Arătați că punctul $\displaystyle M(1,2)$ este centrul cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$.

Se consideră $\displaystyle R$ raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ și $\displaystyle r$ raza cercului înscris în triunghiul $\displaystyle ABC$. Știind că $\displaystyle \sin A + \sin B + \sin C = \frac{1}{r}$, arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 1$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right) = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr natural. Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(-1) \le 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2\lg x = \lg(2x+8)$.

După o ieftinire cu $\displaystyle 10\%$, prețul unui obiect este $\displaystyle 540$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(2,-2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x$.

Calculați perimetrul pătratului $\displaystyle ABCD$, știind că are diagonala $\displaystyle AC = 2\sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2xy-4(x+y)+7$. Arătați că $\displaystyle (-2) * 2 = -1$.

Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-2)(y-2)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1) * x = 3$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^{2x} * 2^{x} = -1$.

Determinați valorile reale nenule ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * \frac{1}{x} \le -1$.