Exerciții

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x + 3} = x + 1$ .

Subiectul I

combinatoricăprobabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie un număr prim.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, 2)$ și $\displaystyle B(3, -1)$ . Știind că punctul $\displaystyle M$ este simetricul lui $\displaystyle A$ față de $\displaystyle B$ și punctul $\displaystyle N$ este simetricul lui $\displaystyle B$ față de $\displaystyle M$ , determinați coordonatele punctului $\displaystyle N$ .

Subiectul I

trigonometrie

Arătați că, dacă $\displaystyle x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ și $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}$ , atunci $\displaystyle \sin x - \cos x = -1$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ este o matrice dependentă de numărul real $\displaystyle x$ .

Subiectul al II-lea

ecuațiilegi de compoziție

Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2 y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 6$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiiinecuații

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2 + 2x - 2\ln(x+1)$ .

Subiectul al III-lea

integraleșiruri

Se consideră funcția $\displaystyle f : [0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$ . Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$ , se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} x^n f(x) dx$ .

Subiectul I

progresii geometrice

Se consideră progresia geometrică $\displaystyle (b_n)_{n \geq 1}$ cu $\displaystyle b_1=2$ și rația $\displaystyle q=\sqrt{5}$ . Calculați partea întreagă a lui $\displaystyle b_3$ .

Subiectul I

funcții

Se consideră funcția bijectivă $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=2x-3$ . Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f$ și $\displaystyle f^{-1}$ .

Subiectul I

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2 (2x^2+x+1) - \log_2 (x^2-x+2)=1$ .

Subiectul I

probabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, suma cifrelor sale să fie divizibilă cu $\displaystyle 11$ .

Subiectul I

geometrie analiticănumere complexe

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{a}\vec{i}-2\vec{j}$ , unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$ .

Subiectul I

trigonometrie

Arătați că, dacă $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos x$ , atunci $\displaystyle x=\frac{\pi}{8}$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatricisisteme de ecuații liniare

Se consideră matricea $\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} mx+y+z=1 \\ 2x+(m+1)y+z=2 \\ x+y+mz=m \end{cases}$ , unde $\displaystyle m$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compozițienumere complexe

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $\displaystyle z_1 \circ z_2 = z_1z_2 - \frac{1}{2}z_1 - \frac{1}{2}z_2 + \frac{1}{2}$ , unde $\displaystyle \overline{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$ .

Subiectul al III-lea

continuitatederivatelimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^3-3x+2}$ .

Subiectul al III-lea