a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle I_3 - \frac{1}{11}A$ este inversa matricei $\displaystyle B$.

c) Dați exemplu de trei matrice $\displaystyle U, V, T \in M_3(\mathbb{R})$, de rang 1, astfel încât $\displaystyle U+V+T = B$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (-1) \ast 1 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” admite element neutru.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in [12, +\infty)$, atunci mulțimea $\displaystyle [3, +\infty)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este injectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^4+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx \le \frac{\pi}{8}$.

c) Se consideră primitiva $\displaystyle F$ a lui $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Calculați $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $\displaystyle (0,0,0)$.

c) Pentru $\displaystyle m=9$, se consideră $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale astfel încât $\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0)$. Calculaţi $\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 2 * (-1)=-23$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=-4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Pentru $\displaystyle r \in \{0,1,2\}$, notăm cu $\displaystyle A(r)$ mulţimea numerelor naturale care au restul $\displaystyle r$ la împărţirea cu $\displaystyle 3$. Determinaţi numerele $\displaystyle r \in \{0,1,2\}$ pentru care $\displaystyle A(r)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziţie „$\displaystyle *$”.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=xe^{-x}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Determinaţi punctul de extrem al funcţiei $\displaystyle f$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+\frac{\operatorname{arctg} x}{x+2}\right)dx = \frac{\ln 3}{4}$.