Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \det A$.

b) Arătaţi că $\displaystyle B \cdot A - A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A+xB)=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy-3(x+y)+12$.

a) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x,y$.

b) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Calculaţi $\displaystyle 1 \circ 2 \circ ... \circ 2014$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x$.

a) Calculaţi $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3-\frac{1}{x}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_1^2 (3-f(x))dx$.

b) Determinaţi primitiva $\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=3$.

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcţiei $\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ știind că $\displaystyle A(1)X=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Se consideră $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $\displaystyle f = {x}^{3}-2{x}^{2}+3x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle f(1)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle {x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{x}_{3}^{2}=-2$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle {x}_{1}^{3}+{x}_{2}^{3}+{x}_{3}^{3}=8$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle f(x)={x}^{2}+x+1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{11}{6}$.

b) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{{x}^{n}}{f(x)}dx$. Arătaţi că $\displaystyle I_{n+1} \leq I_n$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinaţi numărul real pozitiv $\displaystyle a$ știind că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x+1}{f(x)}dx = \ln 3$.