a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 3$.

b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $\displaystyle y_0 z_0 \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 6*7=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x*x=6$.

c) Determinați tripletele $\displaystyle (m,n,p)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n<p$, pentru care $\displaystyle m*n*p=3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-8x^3}{x^2-5x} = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x(F(x)-1-\ln^2 x)dx = 31$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{F(x)-8x^3}{x}dx = \frac{1}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{F(x)-8x^3}dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+2} + I_n \le 2^{n+1}(e^4-1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(3)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) = A(42)$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 2 = 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{3}{2}+\ln 2$.