a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle B = \frac{1}{2}(I_2-A)$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-I_2) \cdot X = 2A$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 4 = 3$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ 9x = x^2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x \circ 2^{x+2} = 6^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x-3)dx = \frac{1}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3-1}dx = \frac{1}{18}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-3}{x^2} - \ln x dx = \frac{e^2+m}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3A-5I_2 = xB$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(B-A)+xI_2) \le 2$.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1+2x_2+2x_3=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Știind că restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X-2$ este $\displaystyle -5$, arătați că $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3-x}{e^x}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e^{-1} \le f(x) \le 1$ pentru orice $\displaystyle x \in [1,4]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-4x-8) dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-4} dx = \frac{1}{4}$.