a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(0)=2A(0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \circ 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \dots \circ \sqrt{2015}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 e^x \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle 4+\ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3.$

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot A=xA.$

c) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=-2.$

b) Determinați polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+1.$

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=a(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$, unde $\displaystyle x_1,x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty).$

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty).$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)dx = \frac{1}{3}.$

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(3)=5.$

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=e^x \cdot f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 3e-4.$