Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ mijloacele segmentelor $\displaystyle BC, BM$, respectiv $\displaystyle CM$. Arătați că $\displaystyle \vec{AM}+\vec{AN}+\vec{AP}=\frac{3}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$, știind că $\displaystyle \sin 2x + 2\sin^2 x = 0$.

1. Arătaţi că $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}+1}\right) = 3$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-2$. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n)<0$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3 (x^2-1)=1$.

4. După o scumpire cu $\displaystyle 20\%$, prețul unui obiect este $\displaystyle 660$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

5. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(2,0)$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x$.

6. Calculați aria rombului $\displaystyle ABCD$, știind că $\displaystyle AC=2\sqrt{5}$ și $\displaystyle BD=4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y=3xy+7(x+y)+14$.

1. Arătați că $\displaystyle (-3)\ast 3=-13$.

2. Arătați că $\displaystyle x \ast y = 3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)- \frac{7}{3}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle x \ast y = 3\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(y+\frac{7}{3}\right)- \frac{7}{3}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

5. Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} \ge 31$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0$.

6. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^x \ast 3^x = 83$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=8$.

2. Arătați că $\displaystyle A(0) \cdot A(2020) = 3A(2020)$.