În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,1)$, $\displaystyle B(2,5)$ și $\displaystyle C(6,1)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ astfel încât $\displaystyle \vec{AM} = 2\vec{AB}$, $\displaystyle \vec{BN} = 2\vec{BC}$ și $\displaystyle \vec{CP} = 2\vec{CA}$. Știind că $\displaystyle O$ este un punct oarecare din plan, arătați că $\displaystyle \vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AD=6$, $\displaystyle AB=4$ și $\displaystyle m(\angle ADC)=120^\circ$. Determinați modulul vectorului $\displaystyle \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

5. În planul triunghiului $\displaystyle ABC$ se consideră punctul $\displaystyle G$, astfel încât $\displaystyle \vec{3AG} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Demonstrați că $\displaystyle G$ este centrul de greutate al triunghiului $\displaystyle ABC$.

Se consideră punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ și $\displaystyle D$, astfel încât $\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$. Demonstrați că $\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{a}\vec{i}-2\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle |\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2$.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(2,-2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-5,5)$, $\displaystyle B(5,5)$ și $\displaystyle C$. Arătați că, dacă $\displaystyle AC = BC$, atunci $\displaystyle C$ este situat pe axa $\displaystyle Oy$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=m\vec{i}+5\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.

5. Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+a\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}$ și $\displaystyle \vec{v}$ sunt coliniari.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-4,0)$, $\displaystyle B(0,4)$ și $\displaystyle O(0,0)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$, știind că $\displaystyle \vec{AB} = \vec{OC}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 2$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=4\vec{i}+m\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=(m-2)\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

5p 5. Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$. Arătați că $\displaystyle \vec{AB}+2\vec{BD}+3\vec{DA}=\vec{CA}$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u} = \vec{i} + 3\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = \vec{i} - \vec{j}$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că vectorii $\displaystyle \vec{u} - a\vec{v}$ și $\displaystyle 3\vec{v}$ sunt coliniari.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle 2\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$.

5p 5. Se consideră punctele $\displaystyle A, B, C, D$ patru puncte coplanare, $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AD$ și $\displaystyle N$ mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Arătați că $\displaystyle 2MN=AB+DC$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+4\vec{j}$ sunt coliniari.

5. Se consideră un paralelogram $\displaystyle ABCD$ şi $\displaystyle O$, punctul de intersecție a dreptelor $\displaystyle AC$ şi $\displaystyle BD$. Arătați că $\displaystyle \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, pentru care $\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}$, unde $\displaystyle \vec{v}=a\vec{i}+6\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(3,2)$ și $\displaystyle C(4,5)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}$.