Se consideră triunghiul echilateral $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=2$. Calculaţi lungimea vectorului $\displaystyle \vec{AB}+\vec{BC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$ și $\displaystyle B(1,4)$. Determinați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{OM}$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră vectorii $\displaystyle \overrightarrow{AB} = 3\vec{i}+2\vec{j}$ și $\displaystyle \overrightarrow{AC} = (m+1)\vec{i}+4\vec{j}$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=(a-2)\vec{i}+\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=3\vec{i}+(a+2)\vec{j}$ sunt opuși.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,2)$ și $\displaystyle B(4,6)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $\displaystyle AB$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că vectorii $\displaystyle \vec{u} = (a+1)\vec{i} + 4\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = \vec{i} + 2\vec{j}$ sunt coliniari.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că vectorii $\displaystyle \vec{u}=(a+1)\vec{i} + (a-1)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=6\vec{i} + 2\vec{j}$ sunt coliniari.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=(a-1)\vec{i}-3\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}-6\vec{j}$ sunt coliniari.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle \vec{AB}=\vec{u}$, $\displaystyle AC=6 \sqrt{3}$ și $\displaystyle m(\angle BAC)=120^{\circ}$. Calculați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{AC}-\vec{AB}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctul $\displaystyle M$ astfel încât $\displaystyle \vec{CM}=2\vec{BM}$. Arătați că $\displaystyle \vec{AM}=2\vec{AB}-\vec{AC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle B(4,0)$. Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle OAB$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u} = a\vec{i} + 2\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = 3\vec{i} - 3\vec{j}$ sunt coliniari.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N, P$ pe laturile $\displaystyle AB, BC$, respectiv $\displaystyle AC$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{BM} + \vec{BN} = \vec{BP}$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{v}=\vec{m i}+6 \vec{j}$ și $\displaystyle \vec{w}=\vec{2 i}+\vec{3 j}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(2,3)$ și $\displaystyle N(0,3)$. Calculați lungimea segmentului $\displaystyle MN$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1,n)$, $\displaystyle N(n,3)$ și $\displaystyle P(2n,5)$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Știind că vectorii $\displaystyle \vec{MN}$ și $\displaystyle \vec{MP}$ sunt coliniari, determinați numărul natural $\displaystyle n$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(-1,5)$, $\displaystyle C(-3,4)$ și $\displaystyle D(a,4)$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că vectorii $\displaystyle \vec{AD}$ și $\displaystyle \vec{CB}$ sunt coliniari.

5. Se consideră dreptunghiul $\displaystyle ABCD$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}$. Știind că lungimea vectorului $\displaystyle \vec{v}$ este egală cu 20, determinați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{BD}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,-1)$, $\displaystyle B(-2,0)$ și $\displaystyle C(0,3)$. Determinați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{BD}$, știind că $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=(a+1)\vec{i}+(5a-1)\vec{j}$ şi $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.