Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 2-x & 0 & x-1 \ 0 & 1 & 0 \ 2(1-x) & 0 & 2x-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(-x)) \leq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că, dacă numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ verifică relația $\displaystyle A(m)A(n)=A(2)$, atunci $\displaystyle m+n=3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x+1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = \det(A(x+1)) = 12$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x+5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=A(2017)+A(-2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, pentru care $\displaystyle A(0) \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) + A(-m) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(5)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 2m & 1 & 1 \\ 1 & 2m & 1 \\ 1 & 1 & 2m \end{pmatrix}$ şi sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2mx+y+z=0 \\ x+2my+z=0 \\ x+y+2mz=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle \det(M(m))=0$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, demonstrați că, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele $\displaystyle a, b$ şi $\displaystyle c$ este întreg.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul $\displaystyle A \cdot B$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A \times X = B$, unde $\displaystyle X eq 0$.

Notă: În subiectul dat, litera 'x' apare în enunțul subpunctului b) ca factor pentru matricea B, dar nu este folosită în calculul din barem. Vom presupune că 'x' din enunțul subiectului este o eroare de tipar și vom proceda conform baremului, unde se calculează $\displaystyle A \times B$ direct.

Se consideră polinomul $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x-6$, cu rădăcinile reale $\displaystyle x_1, x_2, x_3$.

a) Determinați $\displaystyle x_1, x_2, x_3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2 = -2m$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle f(x+1) = (x+p)(x+q)X + q$ cu $\displaystyle p=-1, q=-6$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & a \\ 1 & 1 & -a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=2 \\ x-y+az=0 \\ x+y-az=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(-1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(M(a))=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ știind că sistemul este soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle 2x_0+y_0=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle X(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 9b & a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(3, 1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd, ad + bc)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c, d$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle \det(X(m, n)) = 1$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det (A(2))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=3I_2$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle \det(A(p) \cdot A(p)+I_2)=5$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 5A - 3B = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 2 & 16 \end{pmatrix}$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle B$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle xA \cdot A - 8A = yI_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & m & -1 \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y+4z = 5 \\ -x+my-z = -2 \\ mx+y+3z = 4 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2 = (x_0+z_0)^2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 3 & 2a-1 & 1 \\ a-3 & a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+ay+z=1 \\ 3x+(2a-1)y+z=1 \\ (a-3)x+ay+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=-5$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinaţi soluţiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2$.