Pentru fiecare număr real $\displaystyle x$ se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

c) Arătați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relația $\displaystyle A(1) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ știind că $\displaystyle A(1)X=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ \frac{3}{4} & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați det $\displaystyle A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle B+C=A$.

c) Calculați $\displaystyle B \cdot B$ și verificați dacă $\displaystyle B \cdot B+B = O_2$, unde $\displaystyle O_2$ este matricea nulă de ordin 2.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(2)+A(-2)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \operatorname{det} A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care matricele $\displaystyle A+m I_{3}$ și $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 8\end{array}\right)$ sunt egale, unde $\displaystyle I_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = B$, unde $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ și $\displaystyle B=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & a+1 \\ 2 & a+2 & a+3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Determinaţi numărul natural $\displaystyle n$, ştiind că $\displaystyle 2A(n^2)-A(n)$ este matricea nulă.

c) Arătaţi că nu există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relaţia $\displaystyle A(2015)X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(0)=2A(0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle M \cdot M + 3M + 4I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle M \cdot M \cdot M = aM + bI_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+a^2z=0 \\ x-y+z=2 \\ x-ay+z=4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \ne -1$ și $\displaystyle a \ne \frac{1}{3}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, iar $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=1 \\ y-z=-1 \\ x+y-2z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \ne -1$ și $\displaystyle a \ne 1$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$, pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, iar $\displaystyle x_0, y_0$ și $\displaystyle z_0$ sunt numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & -1 \\ 1 & -m & 1 \\ -1 & 1 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} -mx + y + z = -1 \\ x - my + z = -1 \\ -x + y + mz = m \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 2$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \neq -1$ și $\displaystyle m \neq 2$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului pentru care $\displaystyle x_0 + y_0 + z_0 = 9$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B)=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

Se consideră determinantul $\displaystyle \Delta(x,y)=\begin{vmatrix} x & 3 & y \ 2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle \Delta(-1,0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-y)(x-3y+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi distincte $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle \frac{1}{y-x}=\frac{1}{8}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle X \cdot A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & a \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=0 \\ x+2y+az=0 \\ -2x-y+3z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(9))=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă sistemul are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale nenule, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=1$, dacă și numai dacă $\displaystyle a=7$.