a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x^2 - 2x - 1)dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(-1)=1$.

c) Arătați că pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$ are loc relația $\displaystyle \int_0^a f(x)dx + \int_{-a}^0 f(x)dx = a^4 - 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+1)dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{n} (F(x)-x^2)dx = \frac{n^3}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{2}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1}=2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)- \frac{1}{x}) dx = 3$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2016$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este mai mic decât $\displaystyle 14\pi$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3x^2-1)dx$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (x^2+3x+3)f(x)dx=6$.

b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)f'(x)dx=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-2\right)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}f(x)\,dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{6-a}\left(f(x)-4\right)dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x-1)dx=\frac{1}{5}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-x^3-1)\ln x dx = \frac{e^2+1}{4}$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^2} e^{x} dx = \frac{1-e^{-1}}{1}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)+x^2-x+1)dx = \frac{15}{4}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int e^x dx = e^x+c$, $\displaystyle c \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(3x+m)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) dx = 3a$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} xf(x)dx$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{x} f(t)dt = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2)dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{7}{4}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-e^x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-n+1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (4x^3-f(x))e^x dx = 1$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graful funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - 2x + 4) dx = 7$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 2017$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x^2} dx = a^3 - 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-2}^0 (x+2)^n dx = \frac{2^{n+1}}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

b) Pentru $\displaystyle n=1$, arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^x dx = 2e-1$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{242}{n+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 2xf(x)dx = \frac{13}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care $\displaystyle F(1)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2 \int_1^n (f(x)+xf'(x))dx = n^2-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-5x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle \frac{127\pi}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x+1) f(x) dx = e-1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x(f(x)+f(-x))dx = 0$.

c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria mai mică decât $\displaystyle \ln 2$.