Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+X^2+4X+4$.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2+3X+2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=-\frac{1}{4}$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+mX^2+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, descompuneţi polinomul $\displaystyle f$ în factori ireductibili în $\displaystyle \mathbb{R}[X]$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - 4X^2 + mX + 4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1) + f(1) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m = -1$, arătați că polinomul $\displaystyle f$ se divide cu polinomul $\displaystyle X^2 - 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 4\left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}\right) = 0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3+5X^2-4$.

a) Arătați că $\displaystyle P(1)=2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}{x_1x_2x_3} = -3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-X^2+aX+2$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1)=-1-a+2$.

b) Restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2-2X+2$ este $\displaystyle aX+2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle X^2+X_1^2+X_2^2+X_3^2=-1$, unde $\displaystyle X_1, X_2, X_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3+aX^2+8X+3$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=6$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la polinomul $\displaystyle X^2+5X+3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in (-4,4)$, atunci polinomul $\displaystyle P(X)$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8$.

a) Arătați că $\displaystyle f(2)=-8$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=30$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 + mX^2 + 2X - 4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Arătați că, dacă polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X+2$, atunci restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la $\displaystyle X-3$ este egal cu $\displaystyle -1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_3x_1}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2+aX+1$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ au modulele egale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = 2X^3 + 3X^2 - X - 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X + 1$.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - (m^2+2)X^2 + (m^2+2)X - 1$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Demonstrați că $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = -4(m-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt numere reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3+3X^2-X-3$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=11$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3+aX^2+4$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle P(2)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=-5$, demonstrați că, pentru $\displaystyle a=-5$, demonstrați că câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2+X-2$ sunt egale.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle P$, știind că $\displaystyle P(i)=0$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

Se considera polinomul $\displaystyle f=X^3+aX^2+X-1$, a\tinând că $\displaystyle f(1)=4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1+x_2+x_3 = -1$, $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = -1$, și $\displaystyle x_1x_2x_3 = -1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^n + X^2 - nX - 1$, unde $\displaystyle n$ este număr natural, $\displaystyle n \ge 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 3$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle n$ este număr natural impar, $\displaystyle n \ge 3$, atunci polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X^2 - 1$.

c) Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 5$, polinomul $\displaystyle f$ nu are rădăcini în mulțimea $\displaystyle \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-6X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle P(1)=-3$.

b) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle P$ nu se divide cu polinomul $\displaystyle X^2+X+1$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}\right)=\frac{6}{m}$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-2X^2-X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle f(2)=0$.

b) Arătați că, dacă polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X+1$, atunci polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle X^2-3X+2$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \frac{x_1}{x_2x_3} + \frac{x_2}{x_1x_3} + \frac{x_3}{x_1x_2} = 6$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3 - 4X^2 + 5X + a$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(1) - P(-1)=12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că toate rădăcinile polinomului $\displaystyle P$ sunt numere întregi.