a) Calculați $\displaystyle D(1,0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle D(m,n)$ este par pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

a) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2015$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = -(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^x \circ 5^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x^2+1)B(x^2+1)=B(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x+4)(y+4) - 4$ pentru oricare numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 * (-4)$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * x = -4$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \circ 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ \sqrt{2} \circ \sqrt{3} \circ \dots \circ \sqrt{2015}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x)A(x)=A(7)$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) * 1 = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y = -(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (x+2) * (2x-3) = 5$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(1)+A(3)=aA(2)$.

c) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)=2A(x+y)+xyI_2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*(-2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=3(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x*x=x$.