a) Calculați $\displaystyle A \cdot B$.

b) Calculați $\displaystyle det(A+B)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle X^2 = A$, unde $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt numere reale.

a) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x,y$.

b) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Calculaţi $\displaystyle 1 \circ 2 \circ ... \circ 2014$.

a) Calculați $\displaystyle 2*4$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=4-(x-4)(y-4)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x*x=x$.

a) Calculați determinantul lui $\displaystyle A(0)$.

b) Determinați matricea $\displaystyle A(x) \cdot B$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle (x+1) \circ (x-3) = 4$.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A(0)\right) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x+y) = A(x) \cdot A(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle A\left(x^{2}+2\right) = A(x) \cdot A(x) \cdot A(x)$.

a) Calculați $\displaystyle 4*5$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3*\dots*2014$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-5)(y-5) + 5$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=6$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * x = x$.

a) Calculaţi $\displaystyle 1 \circ 2$.

b) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x \circ x = 2$.

a) Calculați $\displaystyle D(1,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y)=(x-2)(y-2)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle D(2^x, 4^x)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

b) Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n\sqrt{a_n^2+2} - n)$.

a) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Pentru $\displaystyle b=2$, rezolvați în mulțimea $\displaystyle (2, +\infty)$ inecuația $\displaystyle (f(x)-1)(2^x-16) \le 0$.