Calculați partea reală a numărului complex $\displaystyle z = \frac{3+2i}{2-3i}$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=1-i$. Arătați că $\displaystyle z^2=-2i$.

Arătați că $\displaystyle \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) \cdot \frac{10}{3} = 1$.

Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii {$\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$}.

Arătați că $\displaystyle \left( \sqrt{5}+2 \right)^2-4 \sqrt{5}=9$.

Determinați partea reală a numărului complex $\displaystyle z=(1+i)^2$.

1. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle (a+b)(i-1)=a-b+i-1$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, pentru care $\displaystyle \frac{10}{3+i} = a+ib$, unde $\displaystyle i^{2} = -1$.

1. Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1 = 2+3i$ și $\displaystyle z_2 = 4-6i$. Arătați că numărul $\displaystyle z_1z_2 + z_1 + z_2$ este real.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=1-i$. Arătați că $\displaystyle z^2+2i=0$.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z = 2 + i$. Arătați că $\displaystyle z + \bar{z} = 9$, unde $\displaystyle \bar{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$.

1. Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1 = 5+2i$ și $\displaystyle z_2 = 3-i$. Arătați că $\displaystyle 3z_1+2z_2=21$.

Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1 = 2+3i$ și $\displaystyle z_2 = 1-2i$. Arătați că $\displaystyle 2z_1 - 3z_2 = 1$.

1. Arătați că $\displaystyle (5-4i)^2 + (5+4i)^2 = 18$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

Se considera numerele complexe $\displaystyle z_1 = 3+2i$ si $\displaystyle z_2 = 3-2i$. Arătați că numărul $\displaystyle z_1 - z_2$ are partea reală egală cu 0.

Se consideră numărul complex $\displaystyle z=4-i$. Calculați $\displaystyle z \cdot \bar{z}-z-\bar{z}$.

Arătați că $\displaystyle \frac{2+i}{2-i} + \frac{2-i}{2+i} = \frac{6}{5}$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x+2}+2^{x+1}-2^{x+1}+2^{x+2}+2^x+1=2^x+7$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{v}=\vec{m i}+6 \vec{j}$ și $\displaystyle \vec{w}=\vec{2 i}+\vec{3 j}$ sunt coliniari.

Determinați numărul complex $\displaystyle z$, știind că $\displaystyle 2z+\bar{z}=6+i$, unde $\displaystyle \bar{z}$ este conjugatul lui $\displaystyle z$.