a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty).$

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty).$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că derivata funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^4}{x^2+1}$.

c) Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^2}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle -1 \le f(x) \le 3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x))^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x)+x})$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x-2)f(x))$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \int_0^1 f(t)dt$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x ℙ \in \u211D$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (-2,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2\sqrt{3}) < f(3\sqrt{2})$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=xe^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real $\displaystyle a\in(-1,1)$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are soluţie unică.