Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, ∞) → ℕ$, $\displaystyle f(x) = ln(x+1) - ln x$.

a) Calculați $\displaystyle f(e+1)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x → ∞} x f(x)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln x-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$ pentru $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} \frac{f(x)}{x-e}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)=2$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}\,dx$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1-\ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+3}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{12x}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (-1,1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to R$, $\displaystyle f(x)=x^2-\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-x}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+e^x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4x+1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x+1)dx = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^3}\int_0^t f(x)dx = \frac{1}{4}$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(- \infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x-2}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)e^x}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (- \infty, 2)$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \le -\frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+1}{x} = 0$.

Se consideră șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = \frac{n^2+1}{n^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

b) Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n\sqrt{a_n^2+2} - n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x}{x+e}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} f(x)$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}; f(x) = \frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right)^{x+3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x} + \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-3 x+7$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x(2 x+1)(3 x+2)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq 5$ pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$.