Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x \circ y = 2xy - 3x - 3y + 6$.

a) Calculaţi $\displaystyle 1 \circ 2$.

b) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x \circ x = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2(x+y-1) - xy$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle x \ast 2 = 2 \ast x = 2$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \ast x = x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = 3xy-3x-3y+4$. Legea $\displaystyle *$ este asociativă și are element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = 3(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle \frac{1}{1007} * \frac{2}{1007} * \dots * \frac{2014}{1007}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care sunt egale cu simetricele lor față de legea „*”.

Se consideră inelul $\displaystyle (\mathbb{Z}_6, +, \cdot)$, unde $\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}\}$.

a) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuația $\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}=\hat{5}$.

b) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=x^3-x$.

c) Determinați numărul elementelor mulțimii $\displaystyle H=\{x \in \mathbb{Z}_6 | x^{10} = x\}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă $\displaystyle x * y=x y+x+y-5$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-2) = -5$.

b) Verificați dacă legea „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Calculați $\displaystyle (-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3 * 4$.