a) Calculaţi $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x) - \frac{1}{x+1}\right) dx$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx = \frac{4}{3} - \ln 2$.

c) Determinaţi numărul natural neul $\displaystyle n$, ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$, are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2} + \ln (n^2+n)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 x^3 dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-x^3)dx = 0$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1;2] \to \mathbb{R}$, definită prin $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x^3}{x^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x}dx=e(e-1)$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n \ge 2$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^x dx$. Arătați că $\displaystyle I_n+(n+1)I_{n-1}=e$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2x-5)dx = \frac{1}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{2x-2}{f(x)}dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^{2015} \frac{1}{f(x)}dx \le \frac{1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3x^2) dx = 15$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2015$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^n \frac{f(x)}{x^2} dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 e^x \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a$, are aria egală cu $\displaystyle 4+\ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2)dx = \frac{1}{3}.$

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(3)=5.$

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=e^x \cdot f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 3e-4.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) dx = 1$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_1^e \frac{(f(x))^n}{x} dx = \frac{1}{2015}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = \frac{7}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x+2\ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (f(x)-1)\ln x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) + 4)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)+5}$, pentru care $\displaystyle F(0) = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{1}{x} dx = 12$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1=\frac{1}{12}$.

b) Arătați că $\displaystyle I_{n+1}=\frac{n+1}{2(2n+1)} I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^2+1)f(x)dx=0$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{2}\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>0$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=m$, are aria egală cu $\displaystyle \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x) - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 + \ln x + 2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)-2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) + 2x) dx = e-1$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = e-3$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{\pi}{6}(3e^2-19)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(x^2)dx=\ln 2-\frac{1}{2}$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2015$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\sqrt{x}$.

c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(f(x)-\sqrt{x})\cdot e^x$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e(2e-1)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x \int_0^1 f(t)dt$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x^2 - 2x - 1)dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(-1)=1$.

c) Arătați că pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$ are loc relația $\displaystyle \int_0^a f(x)dx + \int_{-a}^0 f(x)dx = a^4 - 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+1)dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{n} (F(x)-x^2)dx = \frac{n^3}{3}$.