Pe mulțimea $\displaystyle Z_{20}=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\dots,\widehat{19}\}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+\hat{9}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, pentru orice $\displaystyle x, y\in Z_{20}$.

b) Determinați $\displaystyle a\in Z_{20}$, știind că $\displaystyle a\circ x=\hat{0}$ pentru orice $\displaystyle x\in Z_{20}$.

c) Dați exemplu de $\displaystyle a,b\in Z_{20}\setminus\{\hat{17}\}$ pentru care $\displaystyle a\circ b=\hat{0}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy+ay+1$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 0 = 2021$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 2^x = 1$.

În mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_3[X]$ se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+\hat{a}X^3+\hat{b}X^2+\hat{c}X+\hat{d}$, unde $\displaystyle \hat{a}, \hat{b}, \hat{c}, \hat{d} \in \mathbb{Z}_3$.

a) Pentru $\displaystyle \hat{a}=\hat{1}$ și $\displaystyle \hat{b}=\hat{2}$, arătați că $\displaystyle \hat{f}(\hat{0})+\hat{f}(\hat{2})=\hat{2}$.

b) Determinați perechile $\displaystyle (\hat{a}, \hat{b}) \in \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$, pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X+\hat{2}$.

c) Arătați că, pentru orice $\displaystyle \hat{a}, \hat{b} \in \mathbb{Z}_3$, există $\displaystyle \hat{x}, \hat{y} \in \mathbb{Z}_3$, cu $\displaystyle \hat{x} \ne \hat{y}$, astfel încât $\displaystyle \hat{f}(\hat{x}) = \hat{f}(\hat{y})$.

Se consideră inelul claselor de resturi $\displaystyle (\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

a) Pentru $\displaystyle n=6$, calculați suma soluțiilor ecuației $\displaystyle \hat{3}x^2+\hat{3}=\hat{0}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

b) Pentru $\displaystyle n=8$, arătați că dacă $\displaystyle \hat{x} \in \mathbb{Z}_8$ astfel încât $\displaystyle \hat{x}^7=\hat{1}$, atunci $\displaystyle \hat{x}=\hat{1}$.

c) Pentru $\displaystyle n=10$, arătați că ecuația $\displaystyle \hat{x}^9+\hat{x}+\hat{1}$ nu are soluții în $\displaystyle \mathbb{Z}_{10}$.

2. Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = (x+4)(y+4)+2$.

a) Demonstrați că $\displaystyle \bar{3}$ este element neutru al legii de compoziție.

b) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuația $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=x \circ \bar{1}$ este bijectivă.