a) Arătați că $\displaystyle x*(-x-2) = -2$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x^{\circ} \left( \frac{1}{2} \right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că legea de compoziție $\displaystyle *, "\circ"$ nu admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle \hat{3} \circ \hat{3} = \hat{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \hat{0}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=\hat{4}x \circ \hat{x}$ este bijectivă.

a) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție este $\displaystyle 2-i$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle z = 4+i$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle H = \{z \in \mathbb{C} \mid \left| z-i \right| = 1\}$ este parte stabilă a mulțimii numerelor complexe în raport cu legea de compoziție dată.

a) Verificați dacă $\displaystyle e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție.

b) Arătați că $\displaystyle x*y\in G$, oricare ar fi $\displaystyle x,y\in G$.

c) Știind că legea de compoziție „$\displaystyle *$” determină o structură de grup pe mulțimea $\displaystyle G$, determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f:G\to(0,+\infty)$, $\displaystyle f(x)=\frac{a}{x}-b$, este izomorfism de grupuri între $\displaystyle (G,*)$ și $\displaystyle ((0,+\infty),\cdot)$.

a) Arătați că $\displaystyle a*(-a)=-a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementele simetrizabile ale mulțimii $\displaystyle \mathbb{Z}$ în raport cu legea „$\displaystyle *$”.

c) Calculați $\displaystyle (-2026) * (-2025) * ... * 2025 * 2026$.

a) Să se verifice dacă $\displaystyle 3 \ast 6 = 2$.

b) Să se demonstreze că legea "$\displaystyle \ast$" este asociativă.

c) Să se determine numerele naturale nenule $\displaystyle m, n \in \mathbb{N}^*$ pentru care $\displaystyle (m \ast m) \ast (n \ast n) = 2$.