a) Calculați $\displaystyle f(0)$.

b) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -1$ , știind că $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt trei numere întregi consecutive.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)=2$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (2x+1)dx = 2$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-2x-1$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\left(x^{2}+2x+2\right)e^{x}}{(x+2)^{2}}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x) = 1$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,2)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{12x}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (-1,1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-\frac{1}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție crescătoare pe intervalul $\displaystyle (-1,+\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle 1*3$.

b) Arătați că $\displaystyle x*3=x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y=2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x^2+4x+5) - (x-2)(2x+4)}{(x^2+4x+5)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x^2-x}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-\frac{1}{x}) dx = e^2-1$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=x^2+\ln x+2$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$ are aria mai mică strict decât 4.