Se consideră determinantul $\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ x & y & 2 \ x^2+1 & y^2+1 & 5 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(1,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y)=(x-2)(y-2)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle D(2^x, 4^x)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & 1 \ 1 & 1 & x \ x & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(1)-A(-2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \neq 1$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$, $\displaystyle A(0,2)$, $\displaystyle B(3,5)$ și $\displaystyle C(6,8)$.

a) Determinați ecuația dreptei $\displaystyle AC$.

b) Verificați dacă punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ sunt coliniare.

c) Demonstrați că aria triunghiului $\displaystyle AOB$ este egală cu aria triunghiului $\displaystyle BOC$.

Se consideră determinanții $\displaystyle d=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix}$ și $\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} 4-a & a-1 \\ a+1 & 4-a \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle d=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)=1$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(2,4)$ și $\displaystyle C(3,m)$. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(2)+A(-2)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a+2)(a-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Calculați inversa matricei $\displaystyle A(-1)$ în $\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ pentru care matricea $\displaystyle A(a) \cdot A(b)$ are suma elementelor egală cu $\displaystyle 24$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & a^2 & b^2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(1,0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle D(m,n)$ este par pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \operatorname{det} A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care matricele $\displaystyle A+m I_{3}$ și $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 8\end{array}\right)$ sunt egale, unde $\displaystyle I_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = B$, unde $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ și $\displaystyle B=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & a+1 \\ 2 & a+2 & a+3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Determinaţi numărul natural $\displaystyle n$, ştiind că $\displaystyle 2A(n^2)-A(n)$ este matricea nulă.

c) Arătaţi că nu există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relaţia $\displaystyle A(2015)X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(3))$.

b) Arătaţi că $\displaystyle A(-2015) + A(2015) = 2A(0)$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = x^2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = pA$.

c) Determinați matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, știind că $\displaystyle \det(A+B)=0$, unde $\displaystyle b$ este un număr real.

Se consideră matricea $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & x \ 0 & 1 & 0 \ 3x & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x^2+1)B(x^2+1)=B(x^2+1)$.