Pentru fiecare număr real $\displaystyle x$ se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle A(x)+A(-x) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

c) Arătați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relația $\displaystyle A(1) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \det A$.

b) Arătaţi că $\displaystyle B \cdot A - A \cdot B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A+xB)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \\ a & 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ știind că $\displaystyle A(1)X=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n))=\frac{n^2(n+1)}{4}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ \frac{3}{4} & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați det $\displaystyle A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle B+C=A$.

c) Calculați $\displaystyle B \cdot B$ și verificați dacă $\displaystyle B \cdot B+B = O_2$, unde $\displaystyle O_2$ este matricea nulă de ordin 2.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Se notează $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați determinantul lui $\displaystyle A(0)$.

b) Determinați matricea $\displaystyle A(x) \cdot B$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

a) Calculați determinantul $\displaystyle \det(A)$ pentru $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

b) Calculați $\displaystyle A \cdot A$ pentru $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea inversă $\displaystyle A^{-1}$ pentru matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2014 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det B$.

b) Arătați că $\displaystyle AB=BA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B+xA)=1$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} b & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle b$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A+B=AB+C$.

c) Arătați că $\displaystyle \det (B+2C)=\det B+\det A$ pentru orice număr real $\displaystyle b$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det (A(1))=-1$.

b) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle \det (A(m)) = 0$.

c) Determinați $\displaystyle A(a) \cdot A(a)^t$ astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot A(a)^t = \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=3-a$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, arătați că $\displaystyle A$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, determinați matricea $\displaystyle A^{-1}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a+1 & 1 \\ 1-a & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ ştiind că $\displaystyle \det(A(a))=1$.

c) Determinaţi inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A - B = A - I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle A \cdot A - xA = I_2$.