Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(-x)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)-3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ↔ ↔$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 5$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3}$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x^3+x^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = 0$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty).$

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty).$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că derivata funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^4}{x^2+1}$.

c) Determinați coordonatele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 6x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2012) + f(2014) \le f(2013) + f(2015)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x(x-3)^2 \le 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 3]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x+2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle [-3,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 3x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^2}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle -1 \le f(x) \le 3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, 1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x))^x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\ln x+x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=e$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0\le f(x)\le 1$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1)$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x) = xe^x - e^x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x ℙ \in \u211D$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.